【题目】已知椭圆,点在椭圆上,椭圆的离心率是.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆长轴的左端点,为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点,记直线斜率分别为,若,请判断直线是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由.
【答案】(1)(2)过定点
【解析】
(1)由点M(﹣1,)在椭圆C上,且椭圆C的离心率是,列方程组求出a=2,b,由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+m,联立,得:(4k2+3)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0,利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件得直线PQ的方程过定点(1,0);再验证直线PQ的斜率不存在时,同样推导出x0=1,从而直线PQ过(1,0).由此能求出直线PQ过定点(1,0).
(1)由点在椭圆上,且椭圆的离心率是,
可得,
可解得:
故椭圆的标准方程为.
(2)设点的坐标分别为,
(ⅰ)当直线斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方程联立得:,,
(ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
联立,消去得:,
由,有,
由韦达定理得:,,
故,可得:,
可得:,
整理为:,
故有,
化简整理得:,解得:或,
当时直线的方程为,即,过定点不合题意,
当时直线的方程为,即,过定点,
综上,由(ⅰ)(ⅱ)知,直线过定点.
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【题目】某日A, B, C三个城市18个销售点的小麦价格如下表:
销售点序号 | 所属城市 | 小麦价格(元/吨) | 销售点序号 | 所属城市 | 小麦价格(元/吨) |
1 | A | 2420 | 10 | B | 2500 |
2 | C | 2580 | 11 | A | 2460 |
3 | C | 2470 | 12 | A | 2460 |
4 | C | 2540 | 13 | A | 2500 |
5 | A | 2430 | 14 | B | 2500 |
6 | C | 2400 | 15 | B | 2450 |
7 | A | 2440 | 16 | B | 2460 |
8 | B | 2500 | 17 | A | 2460 |
9 | A | 2440 | 18 | A | 2540 |
(Ⅰ)求B市5个销售点小麦价格的中位数;
(Ⅱ)甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦,乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦,求甲花费的费用比乙高的概率;
(Ⅲ)如果一个城市的销售点小麦价格方差越大,则称其价格差异性越大.请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序(只写出结果).
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣x2+ax,g(x)=ex﹣e,其中a>0.
(1)若a=1,证明:f(x)≤0;
(2)用max{m,n}表示m和n中的较大值,设函数h(x)=max{f(x),g(x)},讨论函数h(x)在(0,+∞)上的零点的个数.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知直线与曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】已知函数的最小正周期为,将函数的图像向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数的图像.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在锐角中,角的对边分别为,若,,求面积的最大值.
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【题目】过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点,其中 ,另一条过的直线交椭圆于两点(不与重合),且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线,于,.
(Ⅰ)求点坐标和直线的方程;
(Ⅱ)求证:.
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