Question

过椭圆x²+2y²=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为

 

．

Answer 1

分析：由题设条件求出椭圆的焦点坐标，进而求出直线AB的方程，把直线AB代入椭圆方程，求出线段AB的长，再由点到直线距离公式求出原点到直线AB的距离，由此能求出△AOB的面积．

解答：解：把椭圆x²+2y²=2转化为标准方程

x2

2

+y²=1，
∵a²=1，b²=1，
∴椭圆x²+2y²=2的焦点F₁（1，0），F₂（-1，0），
∵过椭圆x²+2y²=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，
设直线AB过焦点F₁（1，0），
∴直线AB的方程为y=x-1，
联立方程组

x2+2y2=2 y=x-1

，
整理，得4x²-4x=0，
解得

x1=0 y1=-1

，

x2=1 y2=0

，
∴|AB|=

(1-0)2+(0+1)2

=

2

，
∵原点O到直线AB：y=x-1的距离d=

|0-0-1|

2

=

2

2

，
∴S_△AOB=

1

2

×

2

×

2

2

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查三角形面积的求法，涉及到椭圆性质、直线方程、点到直线距离公式等知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．