Question

已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）若不等式f（x）+51≥0对任意x∈[q，10]均成立，求实数q的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵二次函f（x）=x²-16x+q+3的对称轴是x=8，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
∴要函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）f（1）≤0，
即 （1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0，化为（q+20）（q-12）≤0．
解得-20≤q≤12．
∴实数q的取值范围是[-20，12]．
（2）记g（x）=f（x）+51=x²-16x+q+54，
①当q＜8时，g（x）_min=g（8），
∴g（8）≥0，即64-128+q+54≥0，解得q≥10．
又∵q＜8，∴无解．
②当q≥8时，g（x）_min=g（q），
∴g（q）≥0，即q²-16q+q+54≥0，解得q≥9或q≤6．
又∵q≥8，∴q≥9，又由题意可知q＜10．
综上可得：9≤q＜10．
分析：（1）利用二次函数的性质和函数零点的判断方法即可求出；
（2）通过讨论q与顶点的横坐标8的大小关系，再利用二次函数的单调性即可求出．
点评：熟练掌握二次函数的单调性和分类讨论的思想方法及函数零点的判断方法是解题的关键．