Question

如图，已知为平面上的两个定点，为动点，，且， （是和的交点）

⑴建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；

⑵若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与（或的延长线）相交于一点，证明：（为的中点）

Answer 1

解：⑴如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系

由题设，

，而

点是以为焦点、长轴长为的椭圆，故点的轨迹方程为

⑵如图2，设，，且，

即，又在轨迹上，

即

代入整理得：

，   

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。