Question

19．光线从点A（-3，0）射到直线1：3x-4y-16=0上，再反射到点B（2，10）．
（1）求入射光线与反射光线所在直线的方程；
（2）求这条光线从A到B经过的路程．

Answer 1

分析 （1）求得点A关于直线1：3x-4y-16=0的对称点A'的坐标，可得直线A'B的方程，再求得直线l和直线A′B的交点，根据交点和A的坐标即可求得入射光线所在直线的方程．
（2）根据轴对称的性质，求得线段A′B的长，即是这条光线从点A到点B经过的路程．

解答 解：（1）设点A（-3，0）关于直线1：3x-4y-16=0的对称点A'（a，b），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3×\frac{a-3}{2}-4×\frac{b}{2}-16=0}\\{\frac{b}{a+3}×\frac{3}{4}=-1}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-8，A'（3，-8），
∴直线A′B的解析式为y-10=$\frac{10+8}{2-3}$（x-2），即18x+y-46=0
与直线1：3x-4y-16=0联立，可得交点（2.4，2.8）
∴入射光线所在直线为：y=$\frac{2.8}{5.4}$（x-3），即14x-27y-42=0
（2）∵A′B=$\sqrt{（3-2）^{2}+（-8-10）^{2}}$=5$\sqrt{13}$，
∴这条光线从点A到点B经过的路程为5$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题．