Question

有一种新型的奇强洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放k（1≤k≤4，且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中f(x)=

24 8-x -1，(0≤x≤4) 7- 1 2 x，(4＜x≤14)

．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次k个单位的洗衣液，2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求k的值？
（2）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（3）若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，在第12分
钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？能，请加以证明；不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由只投放一次k个单位的洗衣液，2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），根据已知可得y=k•f（x）=3，代入可求出k值；
（2）由只投放一次4个单位的洗衣液，所以y=

96 8-x -4(0≤x≤4) 28-2x(4＜x≤14)

，分0≤x≤4和4＜x≤14两种情况分析讨论去污时长，最后讨论结果，可得答案．
（3）令x=12，求出此时y值，与4进行比较，若大于4，可得在第12分钟时还能起到有效去污的作用．

解答：解：（1）f(x)=

24 8-x -1，(0≤x≤4) 7- 1 2 x，(4＜x≤14)

当2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），
可得y=k•f（x）=3，
∵k(

24

8-2

-1)=3，
∴k=1；
（2）因为k=4，
所以y=

96 8-x -4(0≤x≤4) 28-2x(4＜x≤14)

则当0≤x≤4时，
由

96

8-x

-4≥4，
解得x≥-4，
所以此时0≤x≤4
当4＜x≤14时，
由28-2x≥4，
解得x≤12，
所以此时4＜x≤12
综合，得0≤x≤12，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟
（3）当x=12时，y=2×(7-

1

2

×12)+1×(

24

8-(12-10)

-1)=5＞4，
∴在第12分钟时还能起到有效去污的作用．

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中正确理解水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用，是解答本题的关键．