Question

已知圆C：（x+1）²+y²=2，过点A（1，0）的直线l将圆C的圆周分成两段弧，且两段弧长之比为1：3，则直线l的斜率为

±

3

3

．

Answer 1

分析：设过A的直线方程为y=k（x-1），根据过点A（1，0）的直线l将圆C的圆周分成两段弧，且两段弧长之比为1：3，得到

DE

度数为90°，即三角形DCE为等腰直角三角形，由CF垂直于DE得到CF为斜边上的中线，求出CF的长，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：设过A（1，0）的直线l方程为y=k（x-1），
∵过点A（1，0）的直线l将圆C的圆周分成两段弧，且两段弧长之比为1：3，
∴

DE

度数为90°，即∠DCE=90°，
∴△DCE为等腰直角三角形，且DC=EC=

2

，
∴根据勾股定理得：DE=

DC2+CE2

=2，
∵CF⊥DE，即CF为斜边上的中线，
∴CF=

1

2

DE=1，
即圆心C（-1，0）到直线y=k（x-1）的距离d=1，即

|-2k|

k2+1

=1，
解得：k=±

3

3

．
故答案为：±

3

3

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意得出△DCE为等腰直角三角形是解本题的关键．