Question

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，EC⊥平面ABC，AB=2AC=2，tan∠DAB=

3

2

．
（1）设F是CD的中点，证明：OF∥平面ADE；
（2）求点B到平面ADE的距离；
（3）画出四棱锥A-BCED的正视图（圆O在水平面，ABD在正面，要求标明垂直关系与至少一边的长）．

Answer 1

分析：（1）F是CD的中点，证明：OF平行平面ADE内的直线AE即可；
（2）设点B到平面ADE的距离为h，由V_B-ADE=V_A-BDE可求点B到平面ADE的距离；
（3）直接画出四棱锥A-BCED的正视图（圆O在水平面，ABD在正面，要求标明垂直关系与至少一边的长）．

解答：解：（1）连接BE，因为DBCE为平行四边形，F是CD的中点，所以BE∩CD=F，
且F是BE的中点（1分），
O是AB的中点，所以OF∥AE（2分），
AE?平面ADE，OF?平面ADE，所以OF∥平面ADE（4分）．
（2）EC⊥平面ABC，从而BD⊥平面ABC，BD⊥AB，tan∠DAB=

BE

AB

=

3

2

，
所以BD=

3

（5分），
因为EC⊥平面ABC，AC⊥CB，所以CA、CB、CE两两相交且互相垂直（6分），
所以AC⊥平面BDE，BC⊥平面ACE，从而DE⊥平面ACE（7分），
在三棱锥B-ADE中，S△BDE=

3

2

，S△ADE=

3

（9分），
设点B到平面ADE的距离为h，由V_B-ADE=V_A-BDE得

1

3

×S△BDE×AC=

1

3

×S△ADE×h（10分），
解得h=

3

2

（11分）．
（3）如图（1分），
标明两个垂直关系BD⊥DE、BD⊥AB（1分），
标明BD、DE、AB任何一边的长再给（1分）．

点评：本小题主要考查空间线面关系的线面垂直的平行定理的运用，空间几何体的体积的求解等知识，锥体体积的计算中最为关键的是确定锥体的高，而若高的确定比较困难时，常用等体积转化求解答，也是非常常用的方法，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．