Question

已知二次函数f（x）=x²+（a+2）x+b满足f（-1）=-2．
（1）若方程f（x）=2x有唯一解，求实数a，b的值；
（2）当x∈[-2，2]时，函数f（x）在顶点取得最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

由f（-1）=-2得：1-a-2+b=-2，即a-b=1①，
（1）把f（x）的解析式代入f（x）=2x中，得到x²+ax+b=0，
因为方程由唯一的解，所以△=a²-4b=0②，
由①得：a=b+1，代入②得：（b-1）²=0，解得b=1，把b=2代入①解得：a=2；
（2）因为二次函数f（x）=x²+（a+2）x+b为开口向上的抛物线，且当x∈[-2，2]时，函数f（x）在顶点取得最小值，
所以对称轴x=-

a+2

2

∈[-2，2]，即

- a+2 2 ≥-2① - a+2 2 ≤2②

，
由①解得：a≤2；由②解得a≥-6，所以不等式组的解集为-6≤x≤2．
故a的取值范围是-6≤x≤2．