Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁＝b₁＝2，b₄＝54，a₁＋a₂＋a₃＝b₂＋b₃．
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)数列{c_n}满足c_n＝a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）a_n＝6n－4     b_n＝2·3^n－1
（2）S_n＝7＋(6n－7)·3ⁿ

(1)设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，由b₄＝b₁q³，得q³＝＝27，从而q＝3，
因此b_n＝b₁·q^n－1＝2·3^n－1，
又a₁＋a₂＋a₃＝3a₂＝b₂＋b₃＝6＋18＝24，∴a₂＝8，
从而d＝a₂－a₁＝6，故a_n＝a₁＋(n－1)·6＝6n－4．
(2)c_n＝a_nb_n＝4·(3n－2)·3^n－1，
令T_n＝1×3⁰＋4×3¹＋7×3²＋…＋(3n－5)·3^n－2＋(3n－2)·3^n－1．
3T_n＝1×3¹＋4×3²＋7×3³＋…＋(3n－5)·3^n－1＋(3n－2)·3ⁿ．
两式相减得
－2T_n＝1＋3×3¹＋3×3²＋3×3³＋…＋3×3^n－1－(3n－2)·3ⁿ＝1＋3×－(3n－2)·3ⁿ＝1＋－(3n－2)·3ⁿ，
∴T_n＝＋，故S_n＝4T_n＝7＋(6n－7)·3ⁿ．