Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C₁的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，曲线C₂的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程及α=

π

3

时曲线C₂的普通方程；
（2）设E（2，0），曲线C₁与C₂交于点M、N，若ME=2NE，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）把曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程．当α=

π

3

时，用代入法消去参数t，可得曲线C₂的普通方程．
（2）把曲线C₂的参数方程消去参数t，化为直角坐标方程，并把它代入曲线C₁的直角坐标方程，求得 y=

1± 1+4tan2α

tanα

．再由ME=2NE化简可得 tan²α=2，再根据MN=

1+ 1 tan2α

•|y₁-y₂|，计算求得解果．

解答：解：（1）曲线C₁的极坐标方程ρsin²θ=2cosθ，即 ρ²•sin²θ=2ρcosθ，即 y²=2x．
当α=

π

3

时曲线C₂的普通方程为

3

x-y-2

3

=0．
（2）把曲线C₂的参数方程

x=2+tcosα y=tsinα

 消去参数t，化为直角坐标方程即 y=tanα（x-2），
由

y2=2x y=tanα(x-2)

 求得 y=

1± 1+4tan2α

tanα

．
由ME=2NE可得1+

1+4tan2α

=2（

1+4tan2α

-1），整理可得 tan²α=2，
∴MN=

1+ 1 tan2α

•|y₁-y₂|=

1+ 1 tan2α

•

2 1+4tan2α

|tanα|

=3

3

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，弦长公式的应用，属于中档题．