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(2013•大连一模)已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1+an•an+1-an=0.
(Ⅰ)求证:数列{
1
an
}
是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
2n
an
}
前n项和Sn
分析:(I)由于各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1+an•an+1-an=0,两边同除以anan+1,即可得到
1
an+1
-
1
an
=1
,转化为等差数列,利用通项公式即可得出;
(II)由(Ⅰ)知
2n
an
=n•2n
.利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出.
解答:解:(Ⅰ)∵an+1+an•an+1-an=0,∴
an+1+anan+1-an
anan+1
=0

1
an+1
-
1
an
=1
1
a1
=1

∴数列{
1
an
}
是以1为首项,1为公差的等差数列.
1
an
=1+(n-1)×1=n
,可得an=
1
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2n
an
=n•2n

Sn=1×21+2×22+…+n×2n.①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1.②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1
Sn=(n-1)2n+1+2
点评:熟练掌握等差数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式是解题的关键.
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