Question

【题目】设是正整数，且.(1）试求出最大的正整数，使得存在各边长都是不大于的正整数，且任意两边之差(大减小）都不小于k的三角形；（2）试求出所有的正整数，使得（1）中所述的对应于最大的正整数的三角形有且只有一个.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设三角形三边长为正整数，且

，，，.

则有，.

从而，.

故.所以.

又因为，因此.

当时，可取正整数满足，

再取，，

此时且满足，，.

这说明当时，存在满足要求的三角形.

综上所述正整数的最大值是.

（2）由（1）知，其中

所以，.

欲使对应于的三角形是惟一的，

必须 (否则，可取到2个正整数），

即.

所以，即且.当然，这是必要的.

下面证明这也是充分的.

当时，，，，，，，

所以，，

.

又，所以，.且以上各式的等号必须都成立.

故，

，.

只有这一个满足要求的三角形，充分性得证.

总之，所求的必是满足且的正整数.

注：表示不大于的最大整数.