Question

20．经过点 P（1，1）的直线在两坐标轴上的截距都是正数，若使截距之和最小，则该直线的方程是x+y-2=0．

Answer 1

分析 设直线的截距式为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=1．因此a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设直线的截距式为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=1．
∴a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，当且仅当a=b=2时取等号．
∴该直线的方程是x+y-2=0．
故答案为：x+y-2=0．

点评 本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．