Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据函数递增得出导函数f'（x）≥0恒成立，得出a的取值范围；
（2）代入a值，求出导函数，根据导函数得出函数的最小值，求出f（$\frac{1}{e}$），f（e）=$\frac{1}{e}$，比较得出最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
∴f'（x）=$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，
若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴x在[1，+∞）上，f'（x）≥0恒成立，
∴a≥1；
（2）当a=1时，
f'（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x∈[$\frac{1}{e}$，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减，
x∈[1，e]时，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴最小值为f（1）=0，
f（$\frac{1}{e}$）=e-2＞f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴最大值为e-2，最小值为0．

点评 考查了函数单调性和导函数的关系，利用导函数求函数的最值．属于常规题型，应熟练掌握．