Question

【题目】如图，已知抛物线C:()的焦点F到直线的距离为．AB是过抛物线C焦点F的动弦，O是坐标原点，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点P．

（1）求证:．

（2）若动弦AB不经过点，直线AB与准线l相交于点N，记MA，MB，MN的斜率分别为，，．问:是否存在常数λ，使得在弦AB运动时恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）存在，-1

【解析】

（1）根据已知求出抛物线方程，要证，只需证明，设，，利用求导方法求出切线斜率，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系，即可得证；

（2）设直线，求出点坐标，求出，利用关系，用表示，代入，判断是否存在使得时等式均成立，即可得出结论.

（1）()

由已知，

故抛物线方程为

依题意，设直线AB方程为()

联立得:

设，，

，

（2）将代入得

，

．

若有成立，则有

整理得恒成立，.

故存在成立．