Question

若向量

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω＞0，记函数f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

，得到y=g（x）的图象，当x∈(

π

2

，

7π

4

)时，g（x）=cosα的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，知f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)，由此能求出f（x）的表达式及m的值．（2）将f(x)=sin(2x-

π

6

)的图象向左平移

π

12

，得到g（x）=sin2x，由其对称性，可设交点横坐标分别为x1，

3π

2

-x1，π+x1，由此能求出钝角α的值．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，
∴f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx）•（sinω，0）
=

3

sinωxcosωx+sin²ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）．（4分）
由题意可知其周期为π，
∴

2π

2ω

=π，
故ω=1，
则f(x)=sin(2x-

π

6

)，
∴由正弦型曲线的性质知：m=±1．（6分）
（2）将f(x)=sin(2x-

π

6

)的图象向左平移

π

12

，
得到y=sin[2(x+

π

12

)-

π

6

]=sin2x，
∴g（x）=sin2x，（8分）
∵g（x）=cosα，
∴sin2x=cosα，
∴由三角函数图象的周期性，可设交点横坐标分别为x1，

3π

2

-x1，π+x1，
∵当x∈(

π

2

，

7π

4

)时，g（x）=cosα的交点横坐标成等比数列，
∴(

3π

2

-x1)2=x1(π+x1)，则x1=

9

16

π（12分）
∴cosα=sin

9π

8

=-sin

π

8

=cos

5π

8

，
∴α=

5π

8

．（4分）

点评：本题考查数列与向量的综合运用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等式的灵活运用．