分析 令f(x)$>-\frac{1}{2}$,解得:x$>\frac{1}{2}$,若对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],不等式f(cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$)+$\frac{1}{2}$>0恒成立,则对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$恒成立,进而得到答案.
解答 解:∵f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}(x≥1)}\\{3x-2(x<1)}\end{array}\right.$,
令f(x)$>-\frac{1}{2}$,
解得:x$>\frac{1}{2}$,
若对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],不等式f(cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$)+$\frac{1}{2}$>0恒成立,
则对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$恒成立,
即1-sin2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$恒成立,
当θ=0时,不等式恒成立,
当θ≠0时,1-sin2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$可化为:λ>$\frac{-\frac{1}{6}+{sin}^{2}θ}{sinθ}$=sinθ-$\frac{1}{6sinθ}$,
当θ=$\frac{π}{2}$时,sinθ-$\frac{1}{6sinθ}$取最大值$\frac{5}{6}$,
故λ>$\frac{5}{6}$,
故整数λ的最小值为1,
故答案为:1.
点评 本题考查的知识点是分段函数的应用,函数恒成立问题,函数的最值,难度中档.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,2) | B. | (2,+∞) | C. | (1,+∞) | D. | (4,+∞) |
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A. | -1 | B. | 0 | C. | -5 | D. | -4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (ln2,1) | B. | ($\frac{1}{2}$,ln2) | C. | ($\frac{1}{3}$,$\frac{1}{e}$) | D. | ($\frac{1}{e}$,$\frac{1}{2}$) |
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A. | 向右平移$\frac{2π}{9}$个单位 | B. | 向左平移$\frac{2π}{9}$个单位 | ||
C. | 向右平移$\frac{2π}{3}$个单位 | D. | 向左平移$\frac{2π}{3}$个单位 |
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A. | f(x)=2x | B. | f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x | C. | f(x)=$\frac{1}{x}$ | D. | f(x)=-x|x| |
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