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20.已知f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}(x≥1)}\\{3x-2(x<1)}\end{array}\right.$,若对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],不等式f(cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$)+$\frac{1}{2}$>0恒成立,整数λ的最小值为1.

分析 令f(x)$>-\frac{1}{2}$,解得:x$>\frac{1}{2}$,若对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],不等式f(cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$)+$\frac{1}{2}$>0恒成立,则对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$恒成立,进而得到答案.

解答 解:∵f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}(x≥1)}\\{3x-2(x<1)}\end{array}\right.$,
令f(x)$>-\frac{1}{2}$,
解得:x$>\frac{1}{2}$,
若对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],不等式f(cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$)+$\frac{1}{2}$>0恒成立,
则对任意θ∈[0,$\frac{π}{2}$],cos2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$恒成立,
即1-sin2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$恒成立,
当θ=0时,不等式恒成立,
当θ≠0时,1-sin2θ+λsinθ-$\frac{1}{3}$$>\frac{1}{2}$可化为:λ>$\frac{-\frac{1}{6}+{sin}^{2}θ}{sinθ}$=sinθ-$\frac{1}{6sinθ}$,
当θ=$\frac{π}{2}$时,sinθ-$\frac{1}{6sinθ}$取最大值$\frac{5}{6}$,
故λ>$\frac{5}{6}$,
故整数λ的最小值为1,
故答案为:1.

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用,函数恒成立问题,函数的最值,难度中档.

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