Question

已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=-1的距离．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点P的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ面积S=

1

2

|FE|(

2

|k|

+2|k|)=2(

1

|k|

+|k|)≥4．

解答：解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），
由题意得，

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化简得y²=4x，
所以点M的轨迹C的方程为y²=4x．（4分）
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则点P的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0．
因为直线l₁与曲线C于A，B两点，
所以x₁+x₂=2+

4

k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

．
所以点P的坐标为(1+

2

k2

，

2

k

)．
由题知，直线l₂的斜率为-

1

k

，同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k）．
当k≠±1时，有1+

2

k2

≠1+2k2，
此时直线PQ的斜率k_PQ=

2 k +2k

1+ 2 k2 -1-2k2

=

k

1-k2

．
所以，直线PQ的方程为y+2k=

k

1-k2

(x-1-2k2)，
整理得yk²+（x-3）k-y=0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．（10分）
（Ⅲ）可求得|EF|=2，
所以△FPQ面积S=

1

2

|EF|(

2

|k|

+2|k|)=2(

1

|k|

+|k|)≥4．
当且仅当k=±1时，“=”成立，所以△FPQ面积的最小值为4．（13分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．