Question

如图，已知二面角α-AB-β的大小为120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．
（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（2）求点P到直线AB的距离．

Answer 1

分析：（1）根据题意，证出AB⊥平面PCD，从而得到AB⊥CD，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90°．
（2）设平面ACD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE．证出∠CED为二面角α-AB-β的平面角，从而∠CED=120°．然后在四边形PCDE中利用余弦定理解三角形，算出CD=

7

，进而得到PE=

CD

sin60°

=

2

3

21

，得到P到直线AB的距离．

解答：解：（1）∵PC⊥α于C，PD⊥β于D．
∴PC⊥AB，PD⊥AB．又PC∩PD=D．
∴AB⊥平面PCD．
∵CD?平面PCD，∴AB⊥CD，
即异面直线AB与CD所成角的大小为90°．        …（6分）
（2）设平面ACD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE
由（1）可知，AB⊥平面PCD．
∴AB⊥CE，AB⊥DE，AB⊥PE．
∴∠CED为二面角α-AB-β的平面角，…（8分）
从而∠CED=120°．
∵PC⊥α，PD⊥β．∴PC⊥CE，PD⊥DE．
∴∠CPD=60°．又PC=2，PD=3．
∴由余弦定理，得CD²=4+9-12cos60°=7，从而CD=

7

．…（10分）
∵PE为四边形PCED的外接圆直径．
∴由正弦定理，得PE=

CD

sin60°

=

2

3

21

．
即点P到直线AB的距离等于

2

3

21

．    …（12分）

点评：本题在120度的二面角中，求异面直线所成角和点P到直线AB的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、二面角的平面角定义和正余弦定理等知识，属于中档题．