Question

10．已知函数f（x）=ln（2x+a）+x²，且f′（0）=$\frac{2}{3}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲线f（x）在x=-1处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，将x=0代入，计算可得a=3，进而得到解析式；
（2）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（2x+a）+x²，的导数为
f′（x）=$\frac{2}{2x+a}$+2x，
f′（0）=$\frac{2}{3}$，可得$\frac{2}{a}$=$\frac{2}{3}$，
解得a=3，
即有f（x）=ln（2x+3）+x²；
（2）f（x）的导数为f′（x）=$\frac{2}{2x+3}$+2x，
曲线f（x）在x=-1处的切线斜率为2-2=0，
切点为（-1，1），
即有曲线f（x）在x=-1处的切线方程为y=1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和理解导数的几何意义是解题的关键．