Question

15．已知f（x）=x²+a²+|x+a|
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）的最小值大于3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论去绝对值号函数f（x）=，从而分别求最小值，再利用分段函数求最小值；
（2）讨论去绝对值号函数f（x），再根据二次函数的单调性及分段函数的单调性从而求函数的最小值，再令最小值大于3，从而求实数a的取值范围

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²+1+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x≥-1}\\{{x}^{2}-x，x＜-1}\end{array}\right.$，
当x≥-1时，f（x）=x²+x+2=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
当x＜-1时，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$＜f（-1）=1+1=2，
∴当a=1时，函数f（x）的最小值为$\frac{7}{4}$，
（2）当x≥-a时，f（x）=x²+x+a²+a=（x+$\frac{1}{2}$）²+a²+a-$\frac{1}{4}$，
当x＜-a时，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
当-a≤-$\frac{1}{2}$时，即a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=a²+a-$\frac{1}{4}$＞3，解得a＞$\frac{-1+\sqrt{14}}{2}$，
当-$\frac{1}{2}$＜-a＜$\frac{1}{2}$时，即-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=f（-a）=2a²＞3，此时无解，
当-a≥$\frac{1}{2}$时，即a≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$＜3，此时不存在，
综上所述a的取值范围（$\frac{-1+\sqrt{14}}{2}$，+∞）

点评 本题考查了绝对值函数的化简与段函数的最值的求法，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于难题．