Question

（19）数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=（x_n+），n∈N.

（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥;

 

（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1.

Answer 1

（19）本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力.

 

（Ⅰ）证明：由x₁=a＞0及x_n+1=（x_n+），可归纳证明x_n＞0（没有证明过程不扣分）.

 

从而有x_n+1=（x_n+）≥=（n∈N）,

 

所以，当n≥2时，x_n≥成立.

 

（Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为x_n≥＞0，x_n+1=（x_n+），

 

所以x_n+1－x_n=（x_n+）－x_n=·≤0，

 

故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立.

 

证法二：当n≥2时，因为x_n≥＞0，x_n+1=（x_n+），

所以==≤=1，

 

故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立.