Question

已知函数f（x）=-x²+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值为M．
（Ⅰ）若b=2，试求出M；
（Ⅱ）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把b=2代入函数解析式，由函数在区间[-1，1]上是增函数得到M是g（-1）和g（1）中较大的一个，由此根据c的范围试求出M；
（Ⅱ）把函数g（x）配方，然后分|b|＞1时，|b|≤1时由函数y=g（x）的单调性求出其最大值，又g（b）=|b²+c|，再分当-1≤b≤0时和0＜b≤1时，求出最大值M，经比较可知对任意的b、c都有M≥

1

2

．再求出当b=0，c=

1

2

时g（x）在区间[-1，1]上的最大值M=

1

2

，由此可得M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）当b=2时，f（x）=-x²+2bx+c在区间[-1，1]上是增函数，
则M是g（-1）和g（1）中较大的一个，
又g（-1）=|-5+c|，g（1）=|3+c|，
则M=

|-5+c|，c≤1 |3+c|，c＞1

；
（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|-（x-b）²+b²+c|，
（i）当|b|＞1时，y=g（x）在区间[-1，1]上是单调函数，
则M=max{g（-1），g（1）}，
而g（-1）=|-1-2b+c|，g（1）=|-1+2b+c|，
则2M≥g（-1）+g（1）≥|f（-1）-f（1）|=4|b|＞4，可知M＞2．
（ ii）当|b|≤1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之内，
此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}，
又g（b）=|b²+c|，
①当-1≤b≤0时，有f（1）≤f（-1）≤f（b），
则M=max{g（b），g（1）}≥

1

2

（g（b）+g（1））≥

1

2

|f（b）-f（1）|=

1

2

(b-1)2≥

1

2

；
②当0＜b≤1时，有f（-1）≤f（1）≤f（b）．
则M=max{g（b），g（-1）}≥

1

2

（g（b）+g（-1））≥

1

2

|f（b）-f（-1）|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
综上可知，对任意的b、c都有M≥

1

2

．
而当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|-x2+

1

2

|在区间[-1，1]上的最大值M=

1

2

，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为

1

2

．

点评：此题是个难题，考查二次函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决该类问题一般应用赋值法．特别是问题（Ⅱ）的分类讨论，增加了题目的难度，综合性强．