Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=

n

n-1

a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列

1

2

的通项公式；
（2）令b_n=

3n-1

an

（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S 2n与n的大小，并证明．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

n

n-1

a_n-1+2n•3^n-2，可得

an

n

-

an-1

n-1

=2×3n-2，利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）b_n=

3n-1

an

=

1

n

，可得S2n=1+

1

2

+

1

3

…+

1

2n

，记函数f（n）=S2n-n=1+

1

2

+

1

3

…+

1

2n

-n，可得f（n+1）-f（n）＜0，即可得出．

解答： 解：（1）由a_n=

n

n-1

a_n-1+2n•3^n-2，可得

an

n

-

an-1

n-1

=2×3n-2，
∴

an

n

=(

an

n

-

an-1

n-1

)+(

an-1

n-1

-

an-2

n-2

)+…+(

a3

3

-

a2

2

)+(

a2

2

-

a1

1

)+

a1

1

=2×3^n-2+2×3^n-3+…+2×3^1-1+1=2×

3n-1-1

3-1

+1=3^n-1，
又a₁=1，
故an=n•3n-1．
（II）b_n=

3n-1

an

=

1

n

，则S2n=1+

1

2

+

1

3

…+

1

2n

，
记函数f（n）=S2n-n=1+

1

2

+

1

3

…+

1

2n

-n，
则f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

-1＜

2n

2n+1

-1＜0，
∴f（n+1）＜f（n）．
由于f（1）=1+

1

2

-1=

1

2

＞0，此时S21＞1；
f（2）=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

-2＞0，此时S22＞2；
f（3）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

8

-3＜0，此时S23＜3；
由于f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时S2n＜n．
综上所述：当n=1，2时，S2n＞n；当n≥3（n∈N^*）时，S2n＜n．

点评：本题考查了“累加求和”方法、数列的单调性、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．