Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²=1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x=m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b＞0，b为常数）的椭圆为D．
（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；
（2）当b=1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；
（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断

OM

•

OL

是否为定值？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）圆心C（m，0），（-1＜m＜1），⊙C的半径为：r=

1-m2

，从而⊙C的方程为（x-m）²+y²=1-m²，由此能求出椭圆D的标准方程．
（2）当b=1时，椭圆D的方程为

x2

2

+y2=1，设椭圆D上任意一点S（x₁，y₁），则

x12

2

+y12=1，y12=1-

x12

2

，由SC2=(x1-m) 2+y12=

1

2

(x1-2m)2+1-m2≥1-m²=r²，所以SC≥r．由此得到椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部．
（3）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意，得N（x₁，-y₁），x₁≠x₂，y₁≠±y₂，从而直线PQ的方程为（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，令y=0，得xM=

x1y2-x2y1

y2-y1

，直线QN的方程为（y₂+y₁）x-（x₂-x₁）y-x₁y₂-x₂y₁=0，令y=0，得xL=

x2y1+x1y2

y2+y1

．由点P，Q在椭圆D上，能够证明

OM

•

OL

=x_M•x_L=b²+1为定值．

解答：解：（1）圆心C（m，0），（-1＜m＜1），
则⊙C的半径为：r=

1-m2

，
从而⊙C的方程为（x-m）²+y²=1-m²，
椭圆D的标准方程为：

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．
（2）当b=1时，椭圆D的方程为

x2

2

+y2=1，
设椭圆D上任意一点S（x₁，y₁），
则

x12

2

+y12=1，y12=1-

x12

2

，
∵SC2=(x1-m) 2+y12
=(x1-m) 2+1-

x12

2

=

1

2

(x1-2m)2+1-m2
≥1-m²=r²，
所以SC≥r．
从而椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部．
（3）

OM

•

OL

=b²+1为定值．
证明：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由题意，得N（x₁，-y₁），x₁≠x₂，y₁≠±y₂，
从而直线PQ的方程为（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
令y=0，得xM=

x1y2-x2y1

y2-y1

，
∵直线QN的方程为（y₂+y₁）x-（x₂-x₁）y-x₁y₂-x₂y₁=0，
令y=0，得xL=

x2y1+x1y2

y2+y1

．
∵点P，Q在椭圆D上，
∴

x12

b2+1

+

y12

b2

=1，

x22

b2+1

+

y22

b2

=1，
∴x12=b2+1-

b2+1

b2

y12，x22=b2+1-

b2+1

b2

y22，
∴x_M•x_L=

(b2+1- b2+1 b2 y12)y22-(b2+1- b2+1 b2 y22  )y12

y22-y12

=

(b2+1)(y22-y12)

y22-y12

=b²+1．
∴

OM

•

OL

=x_M•x_L=b²+1为定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．