Question

已知非零向量

a

，

b

满足|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=λ|

b

|（λ≥2），则向量

a

-

b

与

a

+

b

的夹角的最大值为

π

3

．

Answer 1

分析：设

OA

=

a

，

OB

=

b

，OACB为平行四边形，由条件可得平行四边形OACB为矩形，设|

b

|=1，则 OA=

λ2-1

．由余弦定理求得cos∠CDA=

2λ2-4

2λ2

=1-

2

λ2

≥

1

2

，由此可得∠CDA 的最大值，此最大值即为所求．

解答：解：∵|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=λ|

b

|，λ≥2，如图所示：设

OA

=

a

，

OB

=

b

，OACB为平行四边形，
则 

OC

=

a

+

b

，

BA

=

a

-

b

．
设|

b

|=1，则|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=λ，即OC=AB=λ，故平行四边形OACB为矩形，

a

⊥

b

．
由勾股定理可得OB²+OA²=AB²，即 1+OA²=λ²，∴OA=

λ2-1

．
由题意可得，

a

+

b

与

a

-

b

的夹角即∠CDA，由余弦定理CA²=CD²+DA²-2CD•DA•cos∠CDA，
即 1=(

λ

2

)2+(

λ

2

)2-2×

λ

2

×

λ

2

×cos∠CDA∴cos∠CDA=

2λ2-4

2λ2

=1-

2

λ2

．
由于λ≥2，∴1-

2

λ2

≥1-

2

4

=

1

2

，当且仅当λ=2时，取等号，故cos∠CDA 的最小值为

1

2

，
故∠CDA 的最大值为

π

3

，
故答案为

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．