Question

已知（m为常数，m>0且）
设是首项为4，公差为2的等差数列.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，且数列{b_n}的前n项和，当时，求
（3）若，问是否存在，使得中每一项恒小于它后面的项？
若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）由题意   即
∴                                          …………2分
∴      ∵m>0且，∴m²为非零常数，
∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列                   …………4分
（Ⅱ）由题意，
当
∴   ①             …………6分
①式两端同乘以2，得
  ②       …………7分
②－①并整理，得
 

=
   …10分
（Ⅲ）由题意
要使对一切成立，即 对一切 成立，
①当m>1时， 成立；                  …………12分
②当0<m<1时，
∴对一切 成立，只需，
解得 ， 考虑到0<m<1，    ∴0<m< 
综上，当0<m<或m>1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项.

解析