Question

【题目】已知函数 .

（1）当时，求函数的极值；

（2）是否存在实数，使得当时，函数的最大值为？若存在，取实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值（2）先求函数导数，根据导函数零点情况分类讨论，根据函数取最大值情况研究实数的取值范围：当时，函数先增后减，最大值为；当时，再根据两根大小进行讨论，结合函数图像确定满足题意的限制条件，解出实数的取值范围

试题解析：（1）当时， ，则，

化简得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，

且，

所以函数在处取到极小值为，在处取得极大值.

（2）由题意，

①当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为，

②当时，令有或，

（1）当时，函数在上单调递增，显然符合题意.

（2）当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，

此时由题意，只需，解得，又，

所以此时实数的取值范围是.

（3）当即时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，

则，代入化简得，

，因为恒成立，

故恒有，所以时，所以恒成立，

综上，实数的取值范围是.