A. | 8143 | B. | 8152 | C. | 8146 | D. | 8149 |
分析 设f(x)=x2-an+1•tan(cosx)+(2an+1)•tan1,则f(x)是偶函数,且f(0)=0是其唯一解,从而an+1=2an+1,进而${a}_{n}+1={2}^{n}$,${a}_{n}={2}^{n}-1$,由此bn=nan=n(2n-1)=n•2n-n,利用分组求和法和错位相减法求出${S}_{n}=(n-1)•{2}^{n+1}+2-\frac{n(n+1)}{2}$,由此能求出S9.
解答 解:∵数列{an}中a1=1,关于x的方程x2-an+1•tan(cosx)+(2an+1)•tan1=0有唯一解,
∴设f(x)=x2-an+1•tan(cosx)+(2an+1)•tan1,
则f(x)是偶函数,
由题意得f(x)=0有唯一解,
∴f(0)=0是其唯一解,
∴02-an+1•tan1+(2an+1)•tan1=0
an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),a1+1=2,
∴{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$,${a}_{n}={2}^{n}-1$,
∴bn=nan=n(2n-1)=n•2n-n,
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n-(1+2+3+…+n)
=1•2+2•22+3•23+…+n•2n-$\frac{n(n+1)}{2}$,①
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1-n(n+1),②
①-②,得:-Sn=2+22+23+2n-n•2n+1+$\frac{n(n+1)}{2}$
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n+1+$\frac{n(n+1)}{2}$
=(1-n)•2n+1-2+$\frac{n(n+1)}{2}$,
∴${S}_{n}=(n-1)•{2}^{n+1}+2-\frac{n(n+1)}{2}$.
∴S9=8×210+2-45=8149.
故选:D.
点评 本题考查数列的前9项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质、构造法、分组求和法和错位相减法的合理运用.
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A. | ?x>0,f(x)≥x | B. | ?x≤0,f(x)≥x | C. | ?x0>0,f(x0)≥x0 | D. | ?x0≤0,f(x0)≥x0 |
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