Question

已知a、b、c是△ABC三边长，关于x的方程ax2-2

c2-b2

x-b=0(a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=10

3

，c=7．
（I）求∠C；
（II）求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）设出方程的两个根，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，根据两根之差的平方等于4，利用完全平方公式化简后，把两根之和和两根之积代入即可得到关于a和b的关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的关系式代入即可求出cosC的值，然后根据C的范围和特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（II）根据三角形的面积公式及sinC的值表示出面积S，让S等于10

3

得到ab的值记作①，根据余弦定理表示出一个关系式，把及c的值和cosC的值代入即可求出a+b的值记作②，联立①②即可求出a与b的值．

解答：解：（I）设x₁，x₂为方程ax2-2

c2-b2

x-b=0的两根．
则x1+x2=

2 c2-b2

a

，x1•x2=

-b

a

．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=

4(c2-b2)

a2

+

4b

a

=4．
∴a²+b²-c²=ab．
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴cosC=

1

2

，
∴∠C=60°；
（II）由S=

1

2

absinC=10

3

，∴ab=40．①
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=（a+b）²-2ab（1+cos60°），
∴72=(a+b)2-2×40×(1+

1

2

)，
∴a+b=13．②
由①、②，得a=8，b=5．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式及韦达定理化简求值，是一道综合题．