Question

已知函数f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x）（a＞0且a≠1）
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得

x-1＞0 3-x＞0

，解得x的取值范围，即可得到函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域．
（2）不等式即 log_a（x-1）≥log_a（3-x），分a＞1和1＞a＞0两种情况，利用对数函数的单调性，分别求出
不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．

解答：解：（1）要使函数h（x）=f（x）-g（x）=log_a（x-1）-log_a（3-x）有意义，
需

x-1＞0 3-x＞0

，解得 1＜x＜3，故函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（1，3）．
（2）∵不等式f（x）≥g（x），即 log_a（x-1）≥log_a（3-x），
∴当a＞1时，有

x-1＞3-x 1＜x＜3

，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有

x-1＜3-x 1＜x＜3

，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．