Question

2．若数列{a_n}的通项公式为a_n=7•（$\frac{3}{4}$）^2n-2-3•（$\frac{3}{4}$）^n-1（n∈N₊），试判断数列{a_n}的第几项最大．

Answer 1

分析 利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行判断即可．

解答 解：a_n=7•（$\frac{3}{4}$）^2n-2-3•（$\frac{3}{4}$）^n-1，
设t=（$\frac{3}{4}$）^n-1，
当n≥1时，函数t=（$\frac{3}{4}$）^n-1，为减函数，且t≤1，
则y=7t²-3t=7（t-$\frac{3}{7}$）²-$\frac{9}{7}$，
当n=1时，t=1，y=7-3=4，
当n=2时，t=$\frac{3}{4}$，
当n≥3时，t=（$\frac{3}{4}$）^n-1≤$\frac{9}{16}$，
此时函数在（-∞，$\frac{9}{16}$]上是单调递减，
故当n=1时，数列{a_n}取得最大值，即第一项最大．

点评 本题主要考查数列的函数性的应用，利用换元法结合复合函数单调性的关系是解决本题的关键．