Question

椭圆的两个焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是椭圆上一点，且满足．
（1）求离心率e的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为，求此时椭圆的方程．

Answer 1

解：（1）设点M的坐标为（x，y），则，．
由，得x²-c²+y²=0，即x²-c²=-y²．①
又由点M在椭圆上，得y²=b²，
代入①，得x²-c²=，即．
∵0≤x²≤a²，∴0≤a²≤a²，即0≤≤1，0≤≤1，
解得≤e＜1．
又∵0＜e＜1，
∵≤e＜1．              
（2）当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为．
设点H（x，y）是椭圆上的一点，则
|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18（-b≤y≤b）．
若0＜b＜3，则0＞-b＞-3，当y=-b时，|HN|²有最大值b²+6b+9．
由题意知：b²+6b+9=50，b=或b=-，这与0＜b＜3矛盾．
若b≥3，则-b≤-3，当y=-3时，|HN|²有最大值2b²+18．
由题意知：2b²+18=50，b²=16，
∴所求椭圆方程为．
分析：（1）由题意知，设M的坐标，由和椭圆的方程，解出M的横坐标的平方，再利用M的横坐标的平方大于或等于0，且小于或等于a²；，求出离心率的平方的范围，进而得到离心率的范围．
（2）当离心率e取时，设椭圆的方程（含参数b），设H（x，y）为椭圆上一点，化简|HN|² ，利用其最大值，分类讨论求出参数b的值，即得椭圆G的方程．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，利用两个向量的数量积公式及椭圆的性质解决具体问题，体现了分类讨论的数学思想．