Question

2．当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：
（1）方程x²-ax+a²+2=0的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程ax²+3x+4a=0的两根都小于1；
（3）方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²-ax+a²+2，由题意可得f（2）＜0，由此求得实数a的取值范围．
（2）分当a=0时、当a＞0时、当a＜0时三种情况，分别利用二次函数的性质求得a的范围，再取并集，即得所求．
（3）构造函数，利用f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，建立不等式组，即可得出结论．

解答 解：（1）由于关于x的方程x²-ax+a²+2=0的两个根一个大于2，另一个小于2，
令f（x）=x²-ax+a²+2，
可得f（2）=a²-2a+6＜0，无解；
（2）当a=0时，方程即3x=0，求得 x=0，不满足条件．
当a＞0时，设f（x）=ax²+3x+4a，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-16{a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{f（1）=3+5a＞0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{3}{4}$．
当a＜0时，设g（x）=ax²+3x+4a，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-16{a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{g（1）=3+5a＜0}\end{array}\right.$，求得a∈∅．
综上可得，a的范围为（0，$\frac{3}{4}$]．
（3）设f（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2，∵x₁、x₂是方程f（x）=0的两个实根，且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a-2＞0}\\{{a}^{2}-2a-8＜0}\\{{a}^{2}-3a＞0}\end{array}\right.$，
∴-2＜a＜-1或3＜a＜4．
∴a的取值范围是{a|-2＜a＜-1或3＜a＜4}．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．