Question

已知x∈（-∞，1]时，不等式1+2^x+（a-a²）4^x＞0恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：可设t=2^x，则f（t）=1+t+（a-a²）t²，不等式化为1+t+（a-a²）t²＞0恒成立即为f（t）的最小值大于0即可求出a的范围．

解答：解：设t=2^x，则f（t）=1+t+（a-a²）t²，由x∈（-∞，1]得t∈（0，2]
a=0时，不等式恒成立；a=1不等式恒成立，a≠0，1时，
此函数为二次函数则f（t）的最小值为-4a²+8a-3，则4a²-8a+3＜0，
求出解集为 -

1

2

＜a＜

3

2

，a≠0，1；
综上-

1

2

＜a＜

3

2

，
故答案为：(-

1

2

，

3

2

)

点评：考查学生理解掌握不等式恒成立的条件，以及利用换元法解决数学问题的能力，属中档题．