Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+c，满足不等式f（x）＜0的解集是（-2，0），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且a₁=99，令b_n=lg（1+a_n），
①求证：数列{b_n}为等比数列；
②令c_n=nb_n，数列{c_n}的前n项和为S_n，是否存在正实数k使得不等式kn²b_n＞S_n+b_n+2-2对任意n∈N^*的恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于不等式f（x）=x²+ax+c＜0的解集是（-2，0），可得-2，0是方程x²+ax+c=0的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出．
（Ⅱ）由于点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）的图象上，可得an+1=an2+2an，
（ⅰ）变形为an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2，两边取对数即可证明；
（ii）利用（i）可得b_n，进而得到c_n．利用“错位相减法”即可得到S_n．把恒成立问题转化为二次函数的单调性求最大值问题即可．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）=x²+ax+c＜0的解集是（-2，0），
∴-2，0是方程x²+ax+c=0的两个实数根．
由韦达定理得

-2+0=-a -2•0=c

，解得

a=2 c=0

，
∴f（x）=x²+2x；
（Ⅱ）∵点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）的图象上，∴an+1=an2+2an，
（ⅰ）an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2，
∴lg(an+1+1)=lg(an+1)2=2lg(an+1)，
即b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}为等比数列； 
（ⅱ）由（ⅰ）知b₁=lg（a₁+1）=2，公比为2，
∴bn=2•2n-1=2n；
又cn=nbn=n•2n，
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n，
2Sn=，1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
错位相减得：-Sn=1•21+22+23+…+2n-n•2n+1，
整理得Sn=(n-1)•2n+1+2，
∵kn²b_n＞S_n+b_n+2-2，即kn²•2ⁿ＞（n-1）2ⁿ⁺¹+2+2ⁿ⁺²-2，
化简整理得k＞

2n+2

n2

对任意n∈N^*的恒成立，
令g(n)=

2n+2

n2

=2•

1

n

+2•

1

n2

，只要k＞g（n）_max，
配方得g(n)=2(

1

n

+

1

2

)2-

1

2

，
∵

1

n

∈(0，1]，∴当

1

n

=1时g（n）_max=4，即k＞4．

点评：本题综合考查了一元二次不等式的解法、变形取对数求数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、二次函数的单调性、画出李文涛的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．