Question

（2012•浦东新区二模）已知数列{an}(n∈N*)，首项a1=

5

6

，若二次方程anx2-an+1x-1=0的根α、β且满足3α+αβ+3β=1，则数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

+

n

2

-

1

2

•(

1

3

)n

．

Answer 1

分析：由韦达定理得到α+β=

an+1

an

，α•β=-

1

an

，从而可得3a_n+1=a_n+1，可分析出{a_n-

1

2

}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，于是可求得a_n，利用分组求和法即可求得S_n．

解答：解：依题意得：α+β=

an+1

an

，α•β=-

1

an

，
∵3α+αβ+3β=1，
∴3•

an+1

an

-

1

an

=1．
∴3a_n+1=a_n+1，
∴3（a_n+1-

1

2

）=a_n-

1

2

，
∴

an+1- 1 2

an- 1 2

=

1

3

，又a1=

5

6

，
∴a₁-

1

2

=

1

3

，
∴{a_n-

1

2

}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴a_n-

1

2

=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
∴a_n=(

1

3

)n+

1

2

．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=[

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n]+

1

2

n
=

1

2

-

1

2

•(

1

3

)n+

n

2

．
故答案为：

1

2

+

n

2

-

1

2

•(

1

3

)n．

点评：本题考查等比数列的通项公式与求和公式，确定{a_n-

1

2

}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列是关键，属于中档题．