Question

对于一般的三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a≠0）定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的导数．若f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”，现已知：g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），请解答下列问题：
（Ⅰ）．若y=g（x）是R上的增函数，求证a=b=c；
（Ⅱ）在（Ⅰ）．的条件下，求函数y=g（x）的“拐点”A的坐标，并证明函数y=g（x）的图象关于“拐点”A成中心对称．

Answer 1

分析：（I）先求出函数g（x）的导函数，然后根据y=g（x）是R上的增函数得g'（x）≥0在R上恒成立，再根据二次函数恒大于等于零建立不等关系可求出a、b、c的关系；
（II）先求出函数g（x）的二阶导数，令g''（x）=0，求出拐点A的坐标，设函数y=g（x）图象上任意一点（x，y）则关于（a，0）的对称点为（2a-x，-y），证明点（2a-x，-y）也在函数y=g（x）图象上，从而证得结论．

解答：解：（I）∵g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），
∴g'（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a）（x-b）
=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac，
∵y=g（x）是R上的增函数，
∴g'（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4（a+b+c）²-12（ab+bc+ac）≤0
则2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ac）≤0即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0
∴a=b=c；
（II）由（I）得y=g（x）=（x-a）³
g'（x）=3（x-a）²，g''（x）=6（x-a）=0
解得x=a
∴函数y=g（x）的“拐点”A的坐标为（a，0）
设函数y=g（x）图象上任意一点（x，y）则关于（a，0）的对称点为（2a-x，-y）
根据g（2a-x）=（a-x）³=-g（x）可知点（2a-x，-y）也在函数y=g（x）图象上
∴函数y=g（x）的图象关于“拐点”A（a，0）成中心对称．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的应用，同时考查了图形的对称问题，属于中档题．