Question

已知

a

=（2sinx，1），

b

=（m•cosx-sinx，+1），其中m＞0，若f（x）=

a

•

b

，且最大值

2

．
（1）求m值．
（2）当x．∈[0，

π

2

]时，求f（x）值域．
（3）直线3x-y+c=0是否可能和f（x）图象相切？叙述理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积公式，结合函数f（x）的最大值为

2

，m＞0，即可求得结论；
（2）整体思维，求得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，利用正弦函数的性质，可得结论；
（3）求导数，求得斜率的范围，可得结论．

解答：解：（1）∵

a

=（2sinx，1），

b

=（m•cosx-sinx，+1），
∴f（x）=

a

•

b

=msin2x-cos2x
∵函数f（x）的最大值为

2

，
∴

m2+1

=

2

∴m=±1
∵m＞0，∴m=1；
（2）f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
∴-1≤f(x)≤

2

，
∴函数f（x）的值域[-1，

2

]．
（3）3x-y+c=0不可能和f（x）图象相切．证明如下：
直线3x-y+c=0斜率k=3而f′(x)=2

2

cos(2x+

π

4

)≤2

2

即f′（x）=3无解，故3x-y+c=0不可能和f（x）图象相切．

点评：本题考查向量的数量积公式，考查函数的值域，考查导数的几何意义，属于中档题．