Question

【题目】已知函数对任意实数恒有，且当时， ，又.

(1)判断的奇偶性；

(2)求证： 是R上的减函数；

(3)求在区间[－3,3]上的值域；

(4)若x∈R，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）[－6,6]（4）(，＋∞)

【解析】试题分析：（1）利用赋值法求f(0)＝0. 利用赋值法求f(－x)＝－f(x)，则得f(x)为奇函数．（2）根据单调性定义，利用赋值法得f(x1)，f(x2)大小关系，即得函数单调性（3）根据函数单调性即求f(3)，f(－3)，利用赋值法得f(3)，f(－3)值（4）根据关系式化简不等式得f(ax2－2x)<f(x－2)，根据函调单调性得ax2－2x>x－2，结合二次函数图像得不等式恒成立条件：a>0，Δ＝9－8a<0，解得实数的取值范围．

试题解析：解：(1)取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.

取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)为奇函数．

(2)证明： 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，

∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)为奇函数，

∴f(x1)>f(x2)．

∴f(x)是R上的减函数．

(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，

∴对任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，

∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，

∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．

(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，

则f(ax2－2x)<f(x－2)，

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax2－2x>x－2，

当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；

当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；

当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意．

综上所述，a的取值范围为(，＋∞)．