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已知函数f(x)=ax4+bx2+cx+1(a,b,c∈R),在x=-1处取得极值-
14
,在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直.
(1)求常数a,b,c的值;
(2)对于函数h(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式h(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线y=kx+m是函数h(x),g(x)的分界线,求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1的“分界线”方程.
分析:(1)先求出函数的导函数,然后根据x=-1处取得极值-
1
4
建立两个等式,再由在x=-2的导数与直线x-8y=0的斜率乘积为-1建立一等式,解三元一次方程组即可;
(2)由于对于任意x∈R,不等式h(x)≥kx+m≥g(x)都成立,可赋值令x=0求出m,然后转化成两个二次不等式恒成立即可求出k的值.
解答:解:(1)f'(x)=4ax3+2bx+c,
由条件得到:
-4a-2b+c=0
a+b-c+1=-
1
4
-32a-4b+c=-8

得到:
a=
1
4
b=
1
2
c=2
(6分)
(2)依题意
1
4
x4+
1
2
x2+2x+1≥kx+m≥-x2+2x+1
恒成立,
令x=0,则1≥m≥1,所以m=1,(8分)
因此:kx+1≥-x2+2x+1恒成立,即x2+(k-2)x≥0恒成立,
由△≤0得到:k=2,(10分)
又因为:f(x)-(2x+1)=
1
4
x4+
1
2
x2≥0
,所以f(x)≥2x+1恒成立,
所以:函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1的分界线方程是y=2x+1.(12分)
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及恒成立等基础知识,属于中档题.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
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