Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点列（n，S_n）在函数f（x）=（x+2）²的图象上，数列{b_n}满足：对任意的正整数n都有0＜b_n＜a_n，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2成立，则数列{b_n}可能的一个通项公式是b_n=n．

Answer 1

分析 由题意得S_n=（n+2）²，从而可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{2n+3，n≥2}\end{array}\right.$，从而可得b_n=n+c（c为常数），从而可写出b_n=n．

解答 解：∵点列（n，S_n）在函数f（x）=（x+2）²的图象上，
∴S_n=（n+2）²，
∴当n=1时，a₁=S₁=9，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n+2）²-（n+1）²=2n+3，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{2n+3，n≥2}\end{array}\right.$，
∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2，
∴b_n=n+c（c为常数）的形式，
又∵0＜b_n＜a_n，
∴b_n=n；
故答案为：b_n=n．

点评 本题考查了数列的求法及应用，同时考查了极限的求法及应用．