Question

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A=60°，a=7，现有以下判断：
①b+c不可能等于15；
②若

AB

•

AC

=12，则S_△ABC=6

3

；
③若b=

3

，则B有两解．
请将所有正确的判断序号填在横线上

 

．

Answer 1

分析：①利用反证法证明，先假设b+c=15，表示出b，然后利用余弦定理列出关于c的方程，算出△小于0，得到方程无解，所以假设错误，原命题正确；
②利用平面向量的数量积的运算法则，由已知求出bc的值，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，作出判断．
③由a，sinA及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围，即可判断出B解得个数．

解答：解：①假设b+c=15，则b=15-c，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：
49=（15-c）²+c²-（15-c）c，即3c²-35c+176=0，
因为△=1225-2112=-887＜0，所以此方程无解，
故假设错误，则b+c不可能等于15，本选项正确；
②根据

AB

•

AC

=bccos60°=

1

2

bc=12，得到bc=24，
则S_△ABC=

1

2

bcsin60°=6

3

，本选项正确；
③由sinA=sin60°=

3

2

，a=7，b=

3

，根据正弦定理得：

7

3 2

=

3

sinB

，得到sinB=

3

14

，又B＜120°，所以B=arcsin

3

14

，即B有一个解，本选项错误，
所以正确的判断序号为：①②．
故答案为：①②

点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则，灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．