Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（l）若cos

π

4

sin（φ+

π

2

）-sin

3π

4

sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的两条相邻对称轴之间的距离等于

π

3

，求函数f（x）的解析式；并求最小的正实数m，使得函数f（x）的图象向右平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

Answer 1

分析：（1）利用特殊角的三角函数值化简cos

π

4

sin（φ+

π

2

）-sin

3π

4

sinφ=0，根据|φ|＜

π

2

直接求出φ的值；
（2）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；函数f（x）的图象向右平移m个单位所对应的函数是偶函数．推出m=-

kπ

3

-

π

12

（k∈Z），可求最小正实数m．

解答：解：（1）由cos

π

4

sin（φ+

π

2

）-sin

3π

4

sinφ=0，得cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=0
即cos（

π

4

+φ）=0又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

．
（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+

π

4

），依题意，

T

2

=

π

3

又T=

2π

ω

，故ω=3，
∴f（x）=sin（3x+

π

4

）
函数f（x）的图象向右平移m个单位后所对应的函数为g（x）=sin[3（x-m）+

π

4

]，
g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立
亦即sin（-3x-3m+

π

4

）=sin（3x-3m+

π

4

）对x∈R恒成立．
∴当且仅当-3m+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）
∴m=-

kπ

3

-

π

12

（k∈Z）从而，最小正实数m=

π

4

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的图象的平移，偶函数的性质，转化思想的应用．