Question

已知直线，圆O：＝36（O为坐标原点），椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等。

（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3,0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在　，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵圆心O到直线的距离为，

直线l被圆O截得的弦长2a=,∴a=2,

又，解得，

∴椭圆C的方程为：;                              ………4分

（Ⅱ）∵,∴四边形OASB是平行四边形．

假设存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线长相等,

则四边形OASB为矩形，因此有,

设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则．                   ………7分

直线l的斜率显然存在，设过点（3,0）的直线l方程为：，

由，得，     

由，即．

………9分

                ,

由得：，满足Δ>0．      ………12分

故存在这样的直线l,其方程为．               ………13分