Question

如图，几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B₁C₁D₁∥面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，且，E为CC₁的中点，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B₁-DE-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知条件，在直角三角形DBB₁，B₁C₁E，DCE中分别求出DB₁，B₁E，DE的长度，由边的关系能够证出
△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）取DB₁的中点H，因为O，H分别为DB，DB₁的中点，所以OH∥BB₁，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，求出两个平面DB₁E和DFE的法向量，根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角B₁-DE-F的余弦值．
解答：（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a
因为BB₁、CC₁都垂直于面ABCD，∴BB₁∥CC₁，又面B₁C₁D₁∥面ABCD，∴BC∥B₁C₁
所以四边形BCC₁B₁为平行四边形，则B₁C₁=BC=a
因为BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，则，
所以
所以△DB₁E为等腰直角三角形；        
（II）解：取DB₁的中点H，因为O，H分别为DB，DB₁的中点，所以OH∥BB₁
以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，
则
所以
设面DB₁E的法向量为，
则，即且
令z₁=1，则
设面DFE的法向量为，
则即且
令x₂=1，则
则=，则二面角B₁-DE-F的余弦值为．
点评：本题考查了三角形形状的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了平面法向量的求法，利用两个平面的法向量所成的角求解二面角时，要注意二面角和法向量所成角的关系，此题是中档题．