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设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4).
(1)求y=f(x)在区间(0,4]上的最大值与最小值;
(2)是否存在两个不等正数s,t(s<t),当s≤x≤t时,函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[s,t],若存在,求出所有这样的正数s,t;若不存在,请说明理由.

解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,(1分)
依题意则有:,即解得(2分)
∴f(x)=x3-6x2+9x
令f'(x)=3x2-12x+9=0,解得x=1或x=3(3分)
当x变化时,f'(x),f(x)在区间(0,4]上的变化情况如下表:
x(0,1)1(1,3)3(3,4)4
f'(x)+0-0+
f(x)单调递增↗4单调递减↘0单调递增↗4
所以函数f(x)=x3-6x2+9x在区间(0,4]上的最大值是4,最小值是0.(4分)
(2)由函数的定义域是正数知,s>0,故极值点x=3不在区间[s,t]上; (5分)
①若极值点x=1在区间[s,t],此时0<s≤1≤t<3,在此区间上f(x)的最大值是4,不可能等于t;故在区间[s,t]上没有极值点; (7分)
②若f(x)=x3-6x2+9x在[s,t]上单调增,即0<s<t≤1或3<s<t,
,即,解得不合要求; (10分)
③若f(x)=x3-6x2+9x在[s,t]上单调减,即1<s<t<3,则
两式相减并除s-t得:(s+t)2-6(s+t)-st+10=0,①
两式相除可得[s(s-3)]2=[t(t-3)]2,即s(3-s)=t(3-t),整理并除以s-t得:s+t=3,②
由①、②可得,即s,t是方程x2-3x+1=0的两根,
即存在s=,t=不合要求.(13分)
综上可得不存在满足条件的s、t.(14分)
分析:(1)对f(x)进行求导,根据f(x)的图象与直线y=4相切于M(1,4),可得f′(1)=0和f(1)=0,求出f(x)的解析式,再求其最值;
(2)根据函数的定义域是正数知,s>0,故极值点x=3不在区间[s,t]上分两种情况,若f(x)=x3-6x2+9x在[s,t]上单调增;若f(x)=x3-6x2+9x在[s,t]上单调减,从而进行判断;
点评:此题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值,是一道综合性比较强,第二问难度比较大,存在性问题,假设存在求出s,t,计算时要仔细;
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