Question

已知函数f（x）对于任意的x∈R，导函数f′（x）都存在，且满足

1-x

f′(x)

≤0，则必有（　　）

A、f（0）+f（2）＞2f（1）

B、f（0）+f（2）≤2f（1）

C、f（0）+f（2）＜2f（1）

D、f（0）+f（2）≥2f（1）

Answer 1

分析：先根据

1-x

f′(x)

≤0，可得函数f（x）的单调性，从而求出函数f（x）在x=1处取最小值f（1），则f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），根据同向不等式相加可得结论．

解答：解：∵

1-x

f′(x)

≤0，
∴当x＜1时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
即函数f（x）在x=1处取最小值f（1），
∴f（0）＞f（1），f（2）＞f（1），
则将两式相加得f（0）+f（2）＞2f（1）．
故选A．

点评：本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的单调性．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．解决本题的关键是根据已知条件合理的构造函数，利用构造的新函数进行解题．属于中档题．