Question

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若f（x）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，分a＞1和0＜a＜1，构造关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域；
（2）若f（x）＞1，即log_a（a^x-1）＞1，根据对数函数的单调性，分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，可得相应的满足条件的x的取值范围．

解答：解：（1）要使函数f（x）有意义必须a^x-1＞0时，即a^x＞1…（1分）
①若a＞1，则x＞0…（3分）
②若0＜a＜1，则x＜0…（5分）
∴当a＞1时，函数f（x）的定义域为：{x|x＞0}；
当0＜a＜1时，函数f（x）的定义域为：{x|x＜0}…（6分）
（2）f（x）＞1，即log_a（a^x-1）＞1…（8分）
①当a＞1，则x＞0，且a^x-1＞a…（9分）
∴x＞log_a（a+1）…10
②当0＜a＜1时，则x＜0，且a^x-1＜a…（11分）
log_a（a+1）＜x＜0…（12分）
∴综上当a＞1时，x的取值范围是（log_a（a+1），+∞），
当0＜a＜1时，x的取值范围是（log_a（a+1），0）…（13分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，分类讨论思想，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．